Paradigma ascunsă în operațiile matematice -I-


VI. Paradigma verbului ,,a avea,,

Faptul că adunarea este operația matematică fundamentală și deci verbul ,,a primi,, pentru ,,a avea,, stă la baza paradigmei întregii matematici este firesc pentru om și universul său.
Înțelesul lui ,,a avea,, subordonează în matematică înțelesul lui ,,a fi,,. Era mai rezonabil ca din înmulțire sa se deducă adunarea decât din adunare să se deducă totul. De ce s-a petrecut așa și nu altfel în istorie ? Nu știm. Dacă omul ar fi perceput mai întâi conștiința existenței sale și abea apoi a conștiinței proprietății, matematica actuală ar fi avut o altă consistență. Ceea ce pare tuturor matematicienilor ca fiind de nezdruncinat, adică întreaga matematică, ar fi fost astăzi complet diferit.

Istoria matematicii descrie pe larg modul în care numerele au fost inspirate, denumirea cifrelor asociate indicând ele însele perioada în care se număra pe degetele de la o mână, de la două mâini sau de la mai multe. Impulsul de a face un calcul sau o evaluare numerică sau cantitativă era subiectiv și primitiv, ținând în primul rând de teamă, foame, frică și de dorințe de a îndepărta aceste stări printr-o luptă perpetuă și determinată în primul rând de instincte.

Verbul ,,a avea,, cuprinde întreaga listă a dorințelor : ,,vreau să am liniște,, stă lângă ,, vreau să am bani,, sau ,, să am pâine și carne,, ori ,,să am o femeie frumoasă,,. Tot calculul vieții se rezumă la ideea parfumată în toate nuanțele posibile a lui ,, a avea,,.

VII. Ideea lui ,, a avea,,

Deci lumea matematică, dar și lumea pe care o modelează matematica, adică lumea noastră, se bazează pe următoarea idee: o ,,cantitate,, de orice natură ne putem imagina, este pusă la bătaie și tot ce se petrece în jurul acestei cantități este doar pentru a schimba ( a mări) această cantitate. O mărire fie prin adaus la aceasta (adunarea), fie prin reducerea alteia (scăderea), fapt ce demonstrează că legea conservării este doar un ascunziș indirect al adunării în scădere (nu există scădere, există doar o altă adunare, alăturată sau alocată unei cantități vecine devenită dornică de a crește), fie prin captarea integrală a alteia de ori de câte ori se poate (înmulțirea) sau reducerea masivă a alteia, gradual sau complet și chiar mai mult decât complet (împărțirea).
Ceea ce este neobișnuit este faptul că evoluția operațiilor matematice de la simpla adunare spre celelalte operații indică o creștere continuă a agresivității sociale, odată cu adăugarea ideilor. Moștenirea acestei agresivității este proprie gândirii bazate pe domnia cantității. Calitatea este o etapă nouă istoric și pare a fi ceva subtil, aproape pervers, prin comparație cu sinceritatea operațiilor de bază și ține de inventarea funcțiilor matematice. Dezvoltarea și diversificarea matematicii ține de dezvoltatrea și diversificarea gândirii sociale dar rămâne o modelare a agresivității strânse în toate epocile istorice.

Dacă traducem imaginea matematicii, instalată în mințile oamenilor, aceasta se reduce la o atotcuprinzătoare dispută, disputa pentru cantitate, promovarea unei dorințe pentru creștere și apoi distingerea controlată, sistematică, bazată pe logică a mișcării nivelelor cantității.

VIII. Proprietățile operațiilor matematice :

-Proprietățile operației de adunare :
Comutativitatea : a+b=b+a
Asociativitatea : (a+b)+c=a+(b+c)
Elementul neutru : a+0=a

-Proprietățile operației de înmulțire :
Comutativitatea : a x b=b x a
Asociativitatea : a x (b x c)=a x (b x c)
Elementul neutru : a x 1= a
Ditributivitatea față de adunare și scădere :ax (b+c) =ab + ac

Aceste proprietăți par importante și definitorii pentru ceea ce se petrece cu cifrele dar și cu acele cantități pe care acestea le reprezintă și mai larg, cu întreaga gândire ce operează în matematică. Sunt atât de importante încât toată teoria ce s-a dezvoltat în ultimele două secole de matematică se bazează pe jocul logicii acestor proprietăți.

Dacă le privim cu atenție și încercăm să dăm la o parte vălul paradigmatic ce le înconjoară vedem că aceste proprietăți nu sunt în fapt decât jocurile sociale ale relațiilor statuate de oameni în jurul ideii de proprietate și implicit a acelei de existență.

-Comutativitatea este egalitatea reflexivă și războinică între două cantități (bogății) învecinate. Atât proprietarul lui ,,a,, cât și proprietarul lui ,,b,, pot tinde cu aceeași posibilitate de a-și dori și realiza acumularea, fie a+b de către proprietarul cantității ,,a,, , fie b+a de către proprietarul cantității ,,b,,. Această caracteristică a unei cantități (bogății) de a putea fi dorită (râvnită), determină acumularea ,,a+b,, dar în echilibru cu acumularea ,,b+a,,. Înțelesul comutativității este cel care păstrează (păzește) atât pe ,,a,, cât și pe ,,b,,.

În spatele comutativității stă ideea de simetrie. Nu doar un om este construit pe baza unei simetrii ci și doi oameni, sau mai mulți oameni, sunt la fel, un ansamblu construit pe baza unor simetrii, ceea ce face ca oricare dintre oameni să poată iniția o operație de adunare în care primul termen să îl reprezinte pe el. (Un om care fură, adună pe ,,b,, la ,,a,,. Un om care muncește, adună pe ,,a2,, la ,,a1,,.) O simetrie oferă un echilibru și putem spune că relația a+b = b+a este tocmai imaginea unui echilibru reciproc dar și relativ între două cantități matematice.


-Asociativitatea este o relație umană nuanțată și statuată social probabil după asimilarea relației de comutativitate. Cantitățile ,,a,, , ,,b,, și ,,c,, intră acum într-o relație de dezechilibru, contând care dintre sume se constitue privilegiat, ,,a,, cu ,,b,, , ,,a,, cu ,,c,, sau ,,b,, cu ,,c,, față de cealaltă cantitate separată astfel. Minoritarea unei cantități nu este un indiciu de pace, cum nici asocierea a două cantități în deficitul previzibil al celei de a treia nu este un semn de echilibru.
Faptul că (a+b)+c=a+(b+c) rezonează cu posibilitatea unei cantități mărite prin unirea a două cantități, din trei existente, dă o imagine fidelă a realității în care oricând și orice variantă de asociere se poate crea. Laturile unui triunghi nu se abat niciodată de la demonstrarea pericolului aplicării simetriei asociativității. Totdeauna suma lungimilor a două laturi vor depăși lungimea celei rămase pe marginea acestei asocieri.

-Elementul neutru este lucrul cel mai frumos al matematicii, atât al adunării cât și al înmulțirii. a+0=a și ax1=a sunt imaginile ideale ale oricărei realități. Cantitatea este neschimbată, prin lipsa unei adunări, a+0=a. Cantitatea este păstrată, mereu egală cu ea însăși : ax1=a.
Adunarea se neagă pe ea însăși când este supusă simultan egalităților a+0=ax1=a. Imaginile paradigmatice ale celor două acțiuni ale elementului neutru asupra lui ,,a,, sunt două paradoxuri. Nu adunăm dar adunăm și nu înmulțim dar înmulțim. Sensurile acestor afirmații sunt mai evidente dacă alăturăm acestora relația socială a unei imagini publice asupra lui ,,a,, ca și cantitate supusă acumulării. Orice cantitate supusă adunării va păstra aparența acestei proprietăți de a-i fi posibilă o schimbare. Permanent adunarea are loc asupra lui ,,a,, doar printr-o latență de forma a+0=a și permanent înmulțirea are loc asupra lui ,,a,, printr-o lantentă operație: ax1=a. De ce a trebuit introdusă în matematică această prefăcătorie? Spunem prin aceasta că elementul neutru dă capacitatea numerelor de a nu dispărea. Ce ar fi dacă cantitățile a și b ar fi incapabile de a se păstra ele însele? În aces caz nu ar fi posibilă nici o operație între ,,a,, și ,,b,, adică a+b, a-b, axb, a:b. Identitatea lui ,,a,, acoperită de o altă identitate a lui ,,b,, face posibilă operația de adunare a+b. În fapt orice cantitate își verifică neîncetat persistența prin efectuarea nesfârșită și virtuală a unei testări: a+0 și ax1. În lumea cantităților supuse matematicii nu suntem siguri că există aceasta validare permanentă sau că există într-o formă necunoscută, în schimb există în aparatul minții umane, omul împrumutând această nevoie a sa și operațiilor matematice.

Aplicarea celor trei proprietați este liniștitoare pentru toți oamenii și dă o siguranță construită prin constrângerea unor simetrii. Dacă adunării îi luăm siguranța comutativității și spunem că numai a+b =a+b, adică niciodată ,,b,, nu va avea inițiativa liberă a unei adunări, ar însemna să nu acceptăm că cel sărac, adică ,,b,, ar putea să solicite o adunare valabilă care să adune lângă sine pe ,,a,, prin operația b+a. Chiar dacă între timp s-a demonstrat o inconsecvență a acestei simetrii ea rămâne o idee socială frumoasă, umplând un ideal și fiind concordantă cu teoria matematică.



IX. Cum ar fi o schimbare a matematicii ?

Mai întâi, cum ar fi să modificăm jocul de șah? Să modificăm numai una dintre regulile sale, foarte puțin. Imitând în mod ironic realitatea, regina are puteri depline iar regele este împiedicat aproape complet, având doar dreptul să facă câte un pas sub protecția tuturor curtenilor. Regele, care este vârful valorilor societăți este în jocul de șah un morman de handicapuri. Să îi dăm doar un drept în plus regelui și toată teoria adunată de mii de ani în mințile șahiștilor se modifică fundamental.

Așa să fie oare și în matematică ? Se pune întrebarea : în realitatea pe care o imită dar și o modelează șahul, toți regii sunt așa de neajutorați ? Cum se pune și întrebarea: în realitate operația de adunare este chiar așa de totalitară și ea dictează întregul mers al tuturor proceselor din natură.

Pentru a face o schimbare a matematicii este necesar să se schimbe modul ei de așezare în mintea umană.

X. Semnificația alături de paradigma matematică

Preluând prin adunare din cantitatățile b, c ... n spre cantitatea nominală ,,a,, singura schimbare posibilă a lui ,,a,, prin adunarea a+b+c+....+n devenită ,,a1,, este aceea a semnificației, cantițățile adunate b,c,...n vor rămâne în natură mereu ele însele, în afara acestei semnificații pe care o invocă aperația de adunare.
O cantitate mărită pe baza micșorării alteia nu se integrează în ideea de adunare dacă noua sumă nu își însușește noua semnificație.

Adunarea are valabilitate ca și operație matematică numai într-un sistem care alătură permanent noi semnificații printr-o logică cum este logica umană. Matematica are nevoie permanent de o semnificație alăturată, atât parcursului operațiilor cât și rezultatului acestora. Această semnificație matematică nu ține de o imagine practică, cea pe care o primesc operațiile când dețin componente ale unei modelări, ci este o semnificație internă logicii. Vorbim de o semnificație pe care operațiile și înainte de operații, funcțiile matematice o au unele de la altele și toate având-o de la operația de adunare, prin depuneri succesive ale unei paradigme constituind elementar logica. Trebuie ca în mintea fiecărui om să se desfășoare o imagine atunci cănd acesta folosește, afirmă, constată, își însușește, etc, propoziția adunării ,,a+b=c,, sau ,,3+4=7,,. Este o formă de imagine simplă fiind imaginea operației de adunare, probabil imaginea pe care și-o pot alătura semnificativ cei mai mulți dintre oameni. Dacă propoziția devine mai complicată imaginea se dezvoltă dar pe baza imagini adunării. Dacă propoziția devine complicată imaginea se dezvoltă spre o imagine la fel de complicată și existentă în minte.
Prin scădere omul adună o pierdere cantității sale. Imaginea sa mentală este una deformată prin noi constituente care semnifică acest fapt. Adunarea dă în acest caz completul unui bilanț în care adaosul și reducerea sunt aceleași lucruri prin efectul lor asupra unei cantități pe care doar o schimbă. Semnificațiile nu pot lipsi din logica operațiilor. Acest lucru ne duce la întrebarea despre modul de așezare al acestor operații în mintea umană.

XI. Așezarea operațiilor în mintea umană

Ceea ce am dedus despre imagini mai sus să transcriem în limbajul matematic posibil. Pentru a face acest lucru folosim o comparație privind abordarea operațiilor matematice de către gândire. Agricultura a adus probabil primele aplicații ale adunării prin culesul și păstrarea unor roade. Strângerea boabelor de pe câmp sau al fructelor din pomi s-a făcut prin adunare. De cele mai multe ori recolta se reduce la o adunare, termen folosit și astăzi pentru culesul fructelor sau al legumelor.
În cazul cerealelor boabele (de mei, grâu, soia, porumb...) sunt cantitatea elementară a acestei adunări. Să notăm cu ,,b,, acea boabă care are capacitatea ca ea singură și independent să germineze și să devină un nou spic. Adunarea boabelor nu era la început semnificativă pentru om pentru că nu exista o măsură învățată pentru a spune mai mult decât că boabele sunt îndestulătoare, foarte îndestulătoare sau lipsesc. Apoi prin capacități noi de abstractizare a urmat aprecierea exprimată prin : prea puține, puține, multe, foarte multe. Aceastea au fost primele evaluări ale adunării boabelor. Probabil că următoarea etapă a fost invenția primei măsuri, căușul palmei sau al ambelor mâini, sau ,,pumnii,, de boabe cum a rămas în vorbirea curentă.
Aceste măsurări calitative se păstrează în limbaj. Ulterior a fost necesară găsirea unei cuantificări pentru mărimea sau valoarea cantității de boabe. Prima formă a acestei cunatificări s-a desfășurat inversat a ceea ce este astăzi prin împărțirea egală și publică între membrii grupului folosind măsura consacrată ( căușul) până la epuizarea cantității comune, pe principiul ,,una ție-una mie,,.
Însă producția de boabe a crescut continuu și paralel și grupul social alăturat: din famile a devenit ceată, apoi trib și în final stat.
Boabele au rămas ele însele ca și cantități elementare dar grupurile de boabe au început a fi definite după diverse criterii : în grămezi sau hambare prin folosirea baniței, în saci, în loturi de saci sau în magazii, respectiv în depozite.
Dacă un pumn de boabe conținea un număr ,,n1,, de boabe, aproximativ și dependent de mărimea palmelor, cantitatea fiind ,,n1 x b,, acest număr devenea tot mai precis prin folosirea unor volume (banițe, măsuri, duble, litre, saci, etc) iar apoi a unor mase de referință, greutățile.
Mintea umană s-a dezvoltat prin accesarea gradată a acestor forme de măsurare și a simbolisiticii necesare comunicării acestor cantități precum și a traseului tranzacțiilor acestor cantități de la semănat până la stoc, comerț, consum sau resemănat.
Adunarea era necesară pentru a afla câte grămezi sau câte hambare sunt într-o magazie, câte măsuri sunt necesare pentru o destinație sau alta.

Câte măsuri, respectiv câte boabe, sunt într-o magazie sau în depozitul format din mai multe magazii ?
C ( toată cantitatea de boabe) = M 1 (prima magazie) + M 2 ( a doua magazie) +...
= (H 1/1( hambarul 1 din prima magazie) + H 2/1 +....) + (H1/2( hambarul 1 din a doua magazie) + H2/2 +....)
= (m1/1/1 ( prima masură din hambarul 1 din prima magazie) + m2/1/1 +....... ) + (m1/2/1 ( prima masură din hambarul 2 din prima magazie) + m2/2/1 +....... ) + .....
+ = (m1/1/2 ( prima masură din hambarul 1 din a doua magazie) + m2/1/2 +....... ) + (m1/2/2 ( prima masură din hamabrul 2 din prima magazie) + m2/2/2 +....... ) + .....
Desfășurând aceste adunări obținem un lung șir al tuturor măsurilor adunate și existente în întreaga cantitate, adică: m1+ m2+ m3+ ... + mn.

Dacă fiecărei măsuri îi cunoaștem numărul de boabe ,,n1 x b,, vom avea în final o sumă uriașă a numărului total de boabe ,,Nb,, boabe care există în depozit. Gândirea asupra acestei enorme operații de adunare este cea care ne persistă în minte și stă la baza înțelegerii și acceptării ulterioare a celorlalte operații. (Putem și să reducem la câteva înmulțiri întregul raționament al adunărilor de mai sus dar acest lucru este rezultatul unei foarte lungi istorii.) Știm că acea cantitate de boabe are o anume invarianță constituită din acel bob care în final poate fi luat și pus în pământ pentru a germina. Acest bob nu este cu nimic influențat de întregul nostru calcul. Singura afirmație adevărată care ne permite să realizăm aceste calcule este faptul că la un moment dat boabele au fost cuprinse într-un volum comun (măsură, hambar, magazie, depozit) căreia i s-a putut da o semnificație.

Subiectul operațiilor matematice nu are o legătură directă cu nici una dintre operațiile asociate. Legătura pe care o realizează paradigma asupra minții între operație și subiectul operației matematice constă într-o semnificație posibilă.